Študijná pomôcka:

y x K = (xK,yK) K= ( cos , sin ) x = cos  y = sin   xK yK K Zostrojme jednotkovú kružnicu, t.j.

kružnicu s polomerom R = 1

Pomocou jednotkovej kružnice je veľmi jednoduché odhadnúť približnú hodnotu goniometrickej funkcie ktoréhokoľvek uhla bez použitia tabuliek, či kalkulačky. Stačí si do jednotkovej kružnice načrtnúť približne veľkosť uhla a uvedomiť si, že polomer kružnice je jedna.

Napr: Nech veľkosť uhla, ktorého sínus, či kosínusu hľadáme je 105°. Načrtneme si koncové rameno uvedeného uhla a pomocou súradníc bodu, ktorý vznikne prienikom kružnice s ramenom uhla, určíme hľadané hodnoty. Teda platí

x = - 0,2 , t.j cos105° = - 0,2 a y=0,9 teda sin105° = 0,9.

Ak odhadnuté údaje porovnáme s tabuľkovými hodnotami cos105° = - 0,258 a sin105° = 0,96, zistíme že je odhad je slušný a porovnateľný.

Klasická dynamika

Dynamika je časť fyziky, ktorá sa zaoberá skúmaním príčin pohybu telies. Základným pojmom v dynamike je sila.

Sila je definovaná ako vzájomné pôsobenie minimálne dvoch hmotných objektov. Sila je vektorová veličina, značíme ju a jednotkou je Newton – N

1 N je sila, ktorá telesu hmotnosti 1 kg udelí zrýchlenie 1 m.s-2.

Východiskom klasickej dynamiky možno nazvať tri Newtonove pohybové zákony.

Newtonov pohybový zákon – tzv. Zákon zotrvačnosti:

Hmotný objekt zotrváva v rovnomernom priamočiarom pohybe, alebo v relatívnom pokoji dovtedy, pokiaľ nie je nútený pôsobením vonkajších síl svoj pohybový stav zmeniť.

Prvý Newtonov zákon platí bez obmedzenia len v inerciálnej sústave.

( Inerciálnou sústavou nazývame sústavu, ktorá koná rovnomerný pohyb vzhľadom na vzťažnú sústavu ) Na zabezpečenie jeho platnosti v celom vesmíre, treba zaviesť tzv. fiktívnu silu. (Viac informácií v TFI)

Newtonov pohybový zákon – tzv. Zákon sily

Zrýchlenie telesa je priamo úmerné pôsobiacej sile, ktorá je príčinou zrýchlenia.

Matematické vyjadrenie druhého Newtonovho zákona je

kde m je konštantná hmotnosť telesa

Newtonov pohybový zákon – tzv. Zákon akcie a reakcie

Každá akcia sily, tzv akčná sila - , vyvolá reakčnú silu rovnakého smeru, rovnakej veľkosti, ale opačnej orientácie, tzv. silu reakčnú - .

Prehľad najčastejšie používaných síl v dynamike

Časový účinok sily sa nazýva impulz sily. Je to vektorová veličina. Dostanem ju úpravou matematickej formulácie druhého Newtonovho pohybového zákona

 je znak pre vyjadrenie zmeny hybnosti v časovom intervale,

je vektor impulzu sily a je vektor hybnosti telesa.

Dráhový účinok sily sa nazýva mechanická práca

(ďalej len práca - A). Práca je skalárna veličina , ktorej jednotkou je Joule. Práca 1 Joul sa vykoná, ak sila 1 N pôsobí na teleso po dráhe 1m a teleso sa posunie v smere pôsobiacej sily.

= F.cos  . dr

Uhol  je uhol medzi vektorom sily a vektorom posunutia .

Mierou schopnosti telesa konať prácu je energia.

Energetické stavy telies v mechanike možno charakterizovať pomocou kinetickej energie, potenciálnej energie a pomocou energie pružnosti.

Kinetická energia hmotného objektu sa rovná práci, ktorú musia vonkajšie sily vykonať, aby hmotný objekt zmenil rýchlosť.

Ek je znak pohybovej - kinetickej energie telesa. Možno ju priradiť každému telesu, ktoré sa pohybuje.

A =

Potenciálne energia tiažová sa rovná práci, ktorú musia vonkajšie sily vykonať, aby sa zmenila polohy hmotného objektu, vzhľadom na zvolenú nulovú potenciálovú hladinu.

Potenciálnu polohovú energiu tiažovú značíme EP alebo U.

Energia pružnosti je určitý druh potenciálnej energie, kde jej dominantnú vlastnosť určuje špeciálna sila, tzv. sila pružnosti.

EP =

Pre mechanickú energiu platí zákon zachovania mechanickej energie.

V izolovanej silovej sústave je súčet kinetickej a potenciálnej energie hmotného objektu konštantný.

Ec = Ek + EP

 Príklady na samostatnú prácu:

1.) Na teleso hmotnosti m pohybujúce sa po naklonenej rovine pôsobí v hmotnom strede telesa sila kolmo na podložku. Uhol, ktorý zviera naklonená rovina s horizontálnou rovinou je  (pozri obrázok). Akou veľkou silou pôsobí naklonená rovina na teleso ?

2.) Na teleso hmotnosti m pohybujúce sa po naklonenej rovine pôsobí v hmotnom strede sila v horizontálnom smere. Uhol, ktorý zviera naklonená rovina s horizontálnou rovinou je  (pozri obrázok). Akou veľkou silou pôsobí naklonená rovina na teleso ?

3.) Na podlahe je po priamej dráhe lanom vlečená debna hmotnosti 8 kg. Lano zviera s podlahou uhol  = 20°a pôsobí na debnu silou o veľkosti 60N. Koeficient trenia medzi debnou a podlahou je 0,2.

a.) Akou silou pôsobí podlaha na debnu?

Ako sa debna pohybuje?

Naklonená rovina zviera s vodorovnou rovinou uhol 20°. Na nej je debna hmotnosti m.

Tá istá debna sa nachádza v troch rôznych situáciách, ktoré sú znázornené na obrázkoch A,B,C.

V prípadoch A,B zakreslite všetky sily, ktoré pôsobia na debnu

V prípade C je lano opatrené silomerom. Na silomere je údaj 10N. Určte zrýchlenie a rýchlosť debny. Úloha má dve riešenia

C B A

Na obrázku sú znázornené v pohľade zhora tri častice (hmotné body) A, B, C, na ktoré pôsobia vonkajšie sily. Všetky sily ležia v rovine papiera. Veľkosť a smer síl pôsobiacich na dve častice je daný na obrázku. Aká je veľkosť a smer sily, ktorá pôsobí na tretiu časticu, ak hmotný stred sústavy týchto troch častíc zostáva nehybný.

6.) Dokreslite do nasledovného obrázku tri sily pôsobiace v ťažisku kvádra tak, aby sa pod účinkom týchto troch síl mohol kváder pohybovať rovnomerným pohybom v smere osi x. Napíšte k nakresleným silám aj ich veľkosti! Predpokladajte, že podložka je dokonale hladká.

7.) Na kváder umiestnený na vodorovnej podložke ( predpokladajme, že podložka je dokonale hladká) pôsobia v ťažisku v horizontálnom smere dve opačne orientované sily (pozri obrázok).

Predpokladajme, že na kváder pôsobí v ťažisku ešte jedna horizontálna sila. Akú má táto sila veľkosť a ako je orientovaná, ak sa:

a) kváder nehýbe,

b) kváder pohybuje doľava konštantnou rýchlosťou v = 5 m.s-1 ?

8.) Na obrázku sú znázornené tri závislosti (A,B,C) veľkosti sily od času, ktorá pôsobila na časticu pohybujúcu sa pozdĺž priamky. Usporiadajte tieto závislosti podľa veľkosti impulzu, ktorý by získala častica v priebehu vyznačeného časového intervalu. Prvá v poradí nech je závislosť predstavujúca najväčší impulz.

9.) Na objekt, ktorý bol pôvodne v pokoji pôsobila sila, ktorej impulz mal veľkosť 21 N.s. Ktoré ďalšie informácie treba vedieť, aby bolo možné určiť o koľko sa zmenila hybnosť objektu. Vyberte jednu z nasledovných možností:

a) netreba žiadne ďalšie informácie,

b) veľkosť pôsobiacej sily a rýchlosť objektu,

c) veľkosť hmotnosti objektu,

d) veľkosť rýchlosti objektu a veľkosť pôsobiacej sily,

e) časový interval pôsobenia sily.

10.) Koľkonásobne sa zmení kinetická energia telesa, ak sa jeho hmotnosť zmenší na polovicu a zároveň sa rýchlosť zvýši na štvornásobok ?

11.) Štyri častice (a, b, c, d) s rovnakou hmotnosťou sa pohybujú s nasledovnými rýchlosťami:

a) b)	c)	d)

Usporiadajte častice podľa veľkosti ich kinetickej energie.

12.) Na obrázku sú znázornené 4 naklonené roviny zvierajúce rôzny uhol s vodorovnou rovinou. Usporiadajte naklonené roviny podľa veľkosti rýchlosti, s ktorou kvádre uvoľnené v rôznych výškach dopadnú na vodorovnú rovinu. Pohyb kvádrov hmotnosti m sa začal z pokoja. Telesá sa pohybujú po naklonenej rovine bez trenia.

13.) Na nasledovnom obrázku sú znázornené 4 naklonené roviny zvierajúce rôzny uhol s vodorovnou rovinou. Na naklonených rovinách sa nachádzajú vo výške h kvádre rôznej hmotnosti, pričom platí m3 > m 1 > m 4 > m2. Kvádre sa začali v istom okamihu pohybovať. Usporiadajte naklonené roviny podľa veľkosti rýchlosti, s ktorou kvádre dopadnú na vodorovnú rovinu. Pohyb telies sa začal z pokoja. Trenie pri pohybe zanedbajte.

14.) Na obrázku sú znázornené 3 dráhy zvierajúce rôzny uhol s vodorovnou rovinou. Na jednotlivých dráhach sa nachádzajú vo výške h nad vyznačenou vodorovnou rovinou kvádre s hmotnosťou m. Telesá sa začali v istom okamihu pohybovať. Usporiadajte dráhy podľa veľkosti rýchlosti, s ktorou telesá prechádzajú miestom M. Pohyb telies sa začal z pokoja. Trenie pri pohybe zanedbajte.

15.) Ako sa zmení veľkosť gravitačnej sily medzi dvomi objektami o hmotnostiach m a M, ktoré sa nachádzajú vo vzdialenosti r, ak sa ich hmotnosti aj vzdialenosť zmenšia na polovicu ? Fg =

a) zväčší sa o polovicu

b) zmenší sa o polovicu

c) zväčší sa na dvojnásobok

d) zväčší sa na osemnásobok

e) nezmení sa

16.) Futbalová lopta vykopnutá brankárom sa pohybuje po parabolickej dráhe. Z nasledovných tvrdení vyberte tie, ktoré sú správne.

a.) kinetická energia lopty je nulová v najvyššom bode trajektórie,

b.) potenciálna energia je najväčšia v okamžiku výkopu,

c.) kinetická energia je najväčšia v najvyššom bode trajektórie,

d.) potenciálna energia je nulová v najvyššom bode trajektórie,

e.) súčet kinetickej a potenciálnej energie je v každom bode

trajektórie rovnaký,

f.) žiadne z predchádzajúcich tvrdení nie je správne.

2005-02-11T13:02:02